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NÚMEROS COMPLEJOS


Los números complejos son expresiones matemáticas formadas por una parte real y una parte imaginaria

En el PDF encontraras temas como:

Clases de complejos
Ejercicios resueltos
Representación gráfica de los números complejos
Relación entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares
Otras formas de representación de un número completo
Operaciones con números complejos
Raíces cúbicas de la unidad
Propiedades de las raíces cúbicas de la unidad



NÚMEROS COMPLEJOS TEORÍA

NÚMEROS COMPLEJOS EJERCICIOS

FACTORIZACIÓN


 La factorización  es un proceso  contrario a la multiplicación, el cual no está sujeta a reglas específicas; su operación depende de la práctica adquirida.  En esencia es la transformación de un polinomio en un producto indicado de factores primos, dentro de un determinado campo numérico.

Un polinomio está definido sobre un campo numérico, cuando los coeficientes de dichos polinomios pertenecen al conjunto numérico asociado a dicho campo.  Hay tres campos de importancia


En el PDF encontraras temas como:

- Factor ó Divisor
- Factor Primo
- Número de factores primos
- FACTORIZACIÓN EN Q
- Método de las Identidades
- DIFERENCIA DE CUADRADOS
- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
- SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
- MÉTODO DE LAS ASPAS.
- Factorización – mcm / mcd fracciones algebraicas
- Doble aspa: “caso especial” polinomio de cuarto grado
- Factorización por divisores binomios
- Caso de polinomios mónicos
- Caso de polinomios no monicos
- Factorización de expresiones recíprocas
- Forma de factorizar
- Máximo común divisor (mcd) mínimo común múltiplo (mcm) 
- M.C.D. y M.C.M. Por factorización
- Fracciones algebraicas

Teorema del Resto


Importancia:
Este teorema es importante porque nos permite encontrar el resto de la división, sin efectuarla.

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

“Consideramos el polinomio P(x)=2x3-5x+3 evaluar el polinomio en 1 consiste en sustituir la indeterminada por 1 (x=1) quedando P(1)=2·13-5·1+3=2-5+3=0.”

Teorema del resto
El valor que se obtiene al evaluar un polinomio en x=a coincide con el resto de dividir ese polinomio por x-a.
Si dividimos un polinomio P(x) por x-a se obtendrá un cociente C(x) y un resto r.
En toda división el dividendo P(x) es igual al divisor x-a por el cociente C(x) más el resto r , es decir, P(x)=(x-a)·C(x) + r.
Al evaluar el polinomio en el punto se tiene
P(a)=(a-a)·C(a) + r , como a-a =0 entonces P(a) = r
Gracias a este teorema podemos usar la regla de Ruffini para evaluar un polinomio en un punto.


A Continuación en el PDF: Demostración de Teorema, Casos que se Presentan.

Ecuación Lineal de Primer Grado


Conceptos a tener en cuenta

ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO EN LOS REALES
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:

1.  Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

2.  Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.

3.  Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4.  Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.


Productos Notables


Ejercicios con Solucionario sobre Productos Notables

Definición.
Son productos cuyo resultado se obtiene sin necesidad de efectuar la operación de multiplicar siendo suficiente aprenderse de memoria su desarrollo clásico.

Son ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

 A continuación veremos algunos ejercicios algebraicos.


Preguntas sobre la Literatura Medieval


Preguntas con Solucionario CLASICISMO - LITERATURA MEDIEVAL

1. ¿Qué característica es ajena al Clasicismo?
A) La originalidad
B) La búsqueda de la armonía
C) El antropomorfismo
D) El afán lúdico
E) El asunto mitológico 

SOLUCIÓN
El afán lúdico no es una característica del Clasicismo, sino su principal objetivo es la búsqueda de la perfección y la belleza.     
RPTA.: D

2. En La Ilíada son considerados los más celebérrimos héroes troyanos y griegos respectivamente:
A) Agamenón -  Aquiles
B) Menelao- Ayax
C) Aquiles – Héctor
D) Héctor – Aquiles
E) Paris - Patroclo

SOLUCIÓN
Troya es representada por el valiente Héctor, así como Grecia, por el feroz Aquiles. 
RPTA.: D

3. El orden cronológico en cuanto a los sucesos narrados en La Ilíada, es: 
1. Héctor mata a Patroclo en un duelo singular en que el segundo semejaba a Aquiles.
2. Aquiles discute con el rey Agamenón por la retención de su esclava Briseida.
3. Aquiles asesina a Héctor en un duelo singular para vengar la muerte de su amigo Patroclo.
4. Paris y Menelao se baten en un duelo para definir el destino de la guerra y la posesión de Helena.

A) 2; 4; 1; 3
B) 2; 3; 4; 4
C) 2; 4; 3; 1
D) 2; 1; 4; 3
E) 4; 2; 1; 4

SOLUCIÓN
La Ilíada empieza con la discusión de Agamenón y Aquiles por la esclava; luego se da el combate entre París y Menelao y, finalmente, la muerte de Patroclo, que culmina con la venganza de Aquiles.     
RPTA.: A

4. La última prueba que sostuvo Ulises para darse a conocer fehacientemente a Penélope fue:
A) la prueba del arco.
B) el reconocimiento por parte de Argos.
C) la descripción de su lecho nupcial.
D) el reconocimiento de su hijo Telémaco.
E) el reconocimiento de su padre Laertes.

SOLUCIÓN
Penélope comprueba la identidad de Ulises debido a la descripción que hace del lecho nupcial que compartieron.  
RPTA.: C 

5. ¿Qué idea no corresponde a La Odisea?
A) La notable participación femenina en el retorno del héroe
B) La marcada y viva descripción de los episodios guerreros
C) La interpolación y narración de historias 
D) La descripción de la vida social y económica de los griegos
E) El desarrollo de los hechos en torno a un personaje protagónico 

SOLUCIÓN
En La Odisea no se dan la descripción de hechos guerreros debido a que la guerra ya había terminado.
RPTA.: B

6. Señale el hecho con el cual concluye Edipo rey.
A) Edipo queda ciego
B) El asesinato de Edipo
C) La maldición de Tiresias
D) El destierro de Edipo
E) La muerte de Yocasta

SOLUCIÓN
Edipo rey termina con el destierro de Edipo, de Tebas, hacia tierras alejadas.
RPTA.: D

7. Personaje de Sófocles que en la tragedia Edipo rey se ahorca al enterarse de que estaba casada con su hijo: 
A) Electra
B) Antígona
C) Yocasta
D) Polinice
E) Penélope

SOLUCIÓN
El personaje que se entera del terrible incesto, y se suicida ahorcándose, es Yocasta.   
RPTA.: C

8. Sobre La Eneida, ¿qué afirmación es cierta?
A) La primera parte se asemeja a La Ilíada y la segunda a La Odisea.
B) Muestra una forma más culta que otras epopeyas y además, escrita.
C) Se compone de 24 libros o cantos.
D) Se inicia con la caída de Troya y el escape de Eneas.
E) La obra concluye con los funerales de Anquises.  

SOLUCIÓN
La Eneida empieza con la caída de Troya y el periplo iniciado por Eneas para salvarse.  
RPTA.: D

9. Reina poderosa que se enamoró de Eneas:
A) Penélope
B) Helena
C) Briseida
D) Dido
E) Gertrudis

SOLUCIÓN
La reina Dido se enamora perdidamente del héroe latino Eneas, fundador de Roma.  
RPTA.: D

10. Los dos valores fundamentales de Rodrigo Díaz de Vivar son:
A) la lealtad y el honor
B) la justicia y el honor
C) el honor y la verdad
D) la fidelidad y la valentía
E) el optimismo y el perdón

SOLUCIÓN
Los dos principales valores de Rodrigo son el honor y la lealtad a su Rey. 
RPTA.: A

11. El hecho fundamental que ocurre en La afrenta de Corpes es: 

A) la toma de Valencia por parte del Cid.
B) el escape de un león y la deshonra de los Infantes.
C) el enfrentamiento con nuevas tropas árabes.
D) la deshonra que sufren las hijas del Cid al ser azotadas por sus esposos.
E) el compromiso de las hijas del Cid con los Infantes de Navarra y Aragón. 

SOLUCIÓN
El cantar tercero tiene como principal eje argumentativo la deshonra del Cid a través de sus yernos.  
RPTA.: D

12. En El destierro el Cid, Rodrigo fue expulsado por: 
A) rebelarse ante el Rey.
B) haber robado parte de los tributos al Rey.
C) una calumnia de García Ordóñez.
D) haber ayudado a Almudafar, enemigo del Rey.
E) colaborar con Almutamiz, rey moro de Sevilla. 

SOLUCIÓN
En el primer canto el Cid es expulsado debido a las calumnias que se dan a su alrededor para quitarle sus privilegios.  
RPTA.: C

13. Rodrigo Díaz recupera e incrementa su honor por segunda vez cuando:
A) nuevos Infantes piden la mano de sus hijas.
B) sus vasallos vencen a los infantes de Carrión en un duelo.
C) los Infantes azotan cruelmente a Elvira y Sol.
D) recupera Valencia para los españoles.
E) los Infantes devuelven las espadas Colada y Tizona.

SOLUCIÓN
El Cid recupera e incrementa su honor con las segundas bodas de sus hijas con los Infantes de Navarra y Aragón.
RPTA.: A

14. En la Divina Comedia, es el guardián severo del Purgatorio: 
A) Catón
B) Caronte
C) Aqueronte
D) Leteo
E) Eunoe

SOLUCIÓN
El guardián del Purgatorio es Catón de Utica, quien conversa con Virgilio y Dante en su recorrido.  
RPTA.: A

15. En la Divina Comedia, ¿En qué parte se ubican los círculos de la soberbia, envidia y lujuria, entre otros?    
A) Infierno
B) Purgatorio – infierno
C) Infierno – paraíso
D) Paraíso
E) Purgatorio – paraíso  

SOLUCIÓN
Los círculos de la envidia, lujuria, soberbia, entre otros pecados, se dan tanto en el Infierno como en el Purgatorio.               
RPTA.: B

16. Se encuentra en el noveno círculo del Infierno, respectivamente:
A) Judas Iscariote
B) Caifás
C) Minotauro
D) Federico II
E) Lucifer

SOLUCIÓN
Los personajes más conocidos dentro de la Divina Comedia que están en el primer y último círculo del Infierno son Sócrates y Judas, respectivamente.   
RPTA.: A

17. ¿Qué representa el Empíreo en la Divina Comedia?
A) El palacio de Satanás
B) Entrada de los Infiernos
C) Lugar que no podía atravesarse dos veces
D) Lugar donde moran los bienaventurados
E) El círculo de los perezosos

SOLUCIÓN
El Empíreo es la Ciudad Santa, donde habitan todos los bienaventurados y que están en gracia divina.  
RPTA.: D

18. Personaje que en la Divina Comedia acompaña a Dante por el Infierno y el Purgatorio:

A) W. Shakespeare
B) Virgilio
C) Sócrates
D) Homero
E) Esopo

SOLUCIÓN
Virgilio es el guía principal de Dante en su recorrido por el infierno y el purgatorio, luego sería la propia Beatriz.   
RPTA.: B

19. Marque la alternativa que se relaciona directamente con Francisco Petrarca.
A) El amor de su vida fue Laura de Noves.
B) Canta la historia de un héroe que después de la Guerra de Troya se dirige a Italia.
C) Canta un episodio de la guerra en Troya.
D) Canta el retorno de Ulises a Itaca.
E) Crea una obra inspirado en el escritor florentino Dante Alighieri.

SOLUCIÓN
Petrarca escribió hermosos versos de profunda pasión a quien fue su más grande amor: Laura de Noves.  
RPTA.: A

20. Le puso el apelativo Divina a la Comedia del poeta italiano, Dante Alighieri:
A) Boccacio
B) Virgilio
C) Homero
D) Hesíodo
E) Horacio

SOLUCIÓN
Giovanni Boccaccio titula a la inmortal obra de Dante con el apelativo de Divina, nombre que sería acuñado y considerado hasta nuestros días.  
RPTA.: A

Preguntas sobre el Verbo y el Adjetivo


Preguntas con Respuestas el VERBO Y ADJETIVO

1. Señale la serie que solo presenta infinitivos.
A) cantar, correr, amando
B) roto, caído, cortado
C) silbando, vendido, comido
D) amar, tejer, partir
E) corto, teniendo, soñando

SOLUCIÓN
Son infinitivos las palabras terminadas en ar, er, ir.
RPTA.: D

2. Indica la serie de palabras que solo presenta participios.
A) visto, impreso, hecho
B) cantado, temido, gritando
C) tomar, comido, frito
D) sabido, querido, olvidando
E) hablado, tomando, esperado

SOLUCIÓN
Son participios las palabras terminadas en ado, ido, to, so, cho.
RPTA.: A

3. Los verbos ámame, cantaré y lleve, se encuentran en modo:
A) indicativo, subjuntivo, imperativo
B) indicativo, imperativo, subjuntivo
C) imperativo, indicativo, subjuntivo
D) imperativo, subjuntivo, indicativo
E) Subjuntivo, indicativo, imperativo

SOLUCIÓN
Son modo imperativo expresa orden (ámame), el modo indicativo expresa una acción real (cantaré) y el modo subjuntivo indica posibilidad, deseo (llevo).
RPTA.: C

4. ¿En qué oración, el participio funciona como sustantivo?
A) Mis manos son apreciadas por todos.
B) Hemos llamado al testigo del homicidio.
C) Vi un muerto cerca del parque.
D) El libro impreso es muy valioso.
E) Todavía no he perdido el control.                                                           

SOLUCIÓN
Muerto es un participio porque termina en to y funciona como sustantivo en la oración “Vi un muerto cerca del parque”.
RPTA.: C 

5. ¿Qué alternativa presenta un verbo cuasi - reflejo?
A) Juan se baña temprano.
B) María se pinta la cara.
C) Pedro y Sonia se aman.
D) Carlos se fue temprano.
E) Marco se corta el cabello.

SOLUCIÓN
Se fue un verbo cuasi- reflejo porque la acción no recae sobre el sujeto que la realiza.
RPTA.: D

6. La oración Laura patea un balón, presenta verbo:
A) Transitivo
B) Intransitivo
C) Reflejo
D) Causi-reflejo
E) Impersonal

SOLUCIÓN
Los verbos transitivos son aquellos que tienen Objeto Directo. En la oración, Laura patea un balón el Objeto es Un Balón.
RPTA.: A

7. Marque la serie que presenta verbos copulativos.
A) ser, estar, dormir
B) yacer, quedar, semejar
C) doler, soler, mirar
D) caminar, parecer, partir
E) bailar, amanecer, atardecer

SOLUCIÓN
Son Verbos aquellos que no tienen significado pleno y funcionaban como enlace. Por ejemplo ser. Estar, parecer, semejar, yacer, quedar, etc.
RPTA.: B

8. ¿En qué oración el verbo haber es impersonal?
A) Has hecho viajes alegres.
B) Hay mucha gente mala.
C) He vivido como un loco.
D) Hemos comprado nuestra casa.
E) Ha caminado por el parque.

SOLUCIÓN
Haber es impersonal cuando indica existencia.
RPTA.: B

9. No presenta perífrasis verbal:
A) Tenemos que trabajar toda la noche.
B) Sandra rompió a llorar a mares.
C) Ella me dijo que vendría pronto.
D) Mañana voy a dormir un poco más.
E) Voy a perder la cabeza por tu amor.

SOLUCIÓN
Las perífrasis verbales son agrupaciones de palabras (más de un verbo) que equivale a un solo verbo. Se forma una perífrasis verbal de la siguientes manera: V. Auxiliar+preposición a o de (o la conjunción que)+un infinitivo.   Por lo tanto, la oración Ella me dijo que vendrá pronto no responde a esta formula.
RPTA.: C

10. Con respecto al verbo, marque la relación incorrecta.
A) Palabra variable: Morfológico
B) Funciona como núcleo del predicado: Sintáctico
C) Expresa pasión, acción, estado: Semántico
D) Inventario abierto: Lexicológico
E) Presenta accidentes gramaticales: Semántico

SOLUCIÓN
Presenta accidente gramaticales corresponde al Nivel Morfológico.
RPTA.: E

11. Es un verbo irregular:
A) Pensar
B) Beber
C) Cantar
D) Vivir
E) Besar

SOLUCIÓN
Son verbos regulares cuando: Al conjugarse, la raíz se mantiene en todos sus sonidos. Las desinencias son iguales a las de su verbo modelo: cantar, comer, vivir.
El verbo que no se ajusta a esto  requisitos es irregular como por ejemplo Pensar.
RPTA.: A
12. Serie que presenta solo adverbios de afirmación:
A) efectivamente, sí, aprisa
B) cierto, también, sí
C) seguramente, recientemente, jamás
D) encima, también, quizá
E) acaso, casi, siempre

SOLUCIÓN
Son adverbios de afirmación cierto, también, si claro efectivamente, etc.           
RPTA.: B

13. Sobre al adverbio es correcto afirmar que:
A) es categoría variable.
B) es de inventario cerrado.
C) carece de significado.
D) modifica a un verbo.
E) modifica a un sustantivo.

SOLUCIÓN
Los adverbios son palabras invariables, de inventario abierto, que tiene significado y solo modifica a un verbos, adjetivo u a otro adverbio.
RPTA.: D

14. Alternativa que presenta locución adverbial.
A) Sí, ella regresará pronto.
B) Hizo la tarea en un santiamén.
C) Ya no se irá de luna de miel.
D) Siempre hace lo que quiere.
E) Su juego es ágil, veloz y hermoso.

SOLUCIÓN
La locución adverbial es una frase que equivale a la utilización de un solo adverbio. Por ejemplo, en un santiamén equivale al adverbio.
RPTA.: B

15. Sintácticamente, el adverbio puede desempeñar la función de:
A) Modificador directo
B) Modificador indirecto
C) Objeto directo
D) Aposición
E) Circunstancial

SOLUCIÓN
Sintácticamente todo adverbio cumple la función de circunstancial en la oración.
RPTA.: E

16. ¿En qué oración un adverbio modifica a un adjetivo?
A) Hazlo rápido.
B) Te extraño mucho.
C) Compra pronto.
D) Es tan tímido contigo.
E) Está muy mal.

SOLUCIÓN
Tan es un adverbio que modifica al adjetivo tímido.
RPTA.: D

17. ¿Qué oración presenta mayor cantidad de adverbios?
A) Hoy seremos los mejores.
B) Siempre te visitaré temprano.
C) Alguien te visitó anoche.
D) Ella vive muy cerca de aquí.
E) Ellos trabajan siempre.

SOLUCIÓN
En la oración, ella vive muy cerca de aquí los adverbios son muy, cerca, aquí.
RPTA.: D

18. ¿En qué alternativa se han subrayado solo adverbios?
A) Está muy feliz por su boda.
B) Ya de mí no se acuerda.
C) Probablemente regrese mañana.
D) Todo el trabajo salió mal.
E) Aquella noche leímos bastante.
           
SOLUCIÓN
En la oración, “Probablemente regrese mañana” los adverbios son probablemente y mañana.
RPTA.: C

19. Indique en qué alternativa la locución adverbial está representada correctamente.
A) Sin ton ni son: de tiempo
B) Tal vez: de negación
C) A las mil maravillas: de modo
D) A menudo: de lugar
E) A propósito: de afirmación

SOLUCIÓN
La locución a las maravillas puede ser reemplazada por el adverbio de modo así.
RPTA.: C

20. Marque la oración en la que encontramos adverbios de cantidad.
A) Muchos son los llamados, pero pocos los elegidos.
B) Ayer tomé poquísima sopa, pero hoy sí la acabé.  
C) Todos dirán que jamás podrán superarme.
D) Lo mucho que me quieres no lo puedo comprender.
E) Dice que ya no me ama tanto como ayer.

SOLUCIÓN
Son adverbios de cantidad mucho, poco, harto, tanto, etc.
RPTA.: E